Integral von \( \sin^2 x \)

Herleitung und Auswertung

Berechnen Sie das Integral:

\[ \int \sin^2 x \, dx \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \), um das Integral umzuformen:

\[ \int \sin^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx \]

Wenden Sie die Summenregel für Integrale \( \displaystyle \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \), um den Ausdruck umzuschreiben:

\[ \int \sin^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} \int 1 \, dx - \dfrac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx \]

Berechnen Sie dies unter Verwendung der Standardintegrale \( \displaystyle \int 1 \, dx = x \) und \( \displaystyle \int \cos(2x) \, dx = \dfrac{1}{2} \sin(2x) \):

\[ = \dfrac{1}{2} x - \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} \sin(2x) \right) + c \]

wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.

Durch Vereinfachung der Terme ergibt sich das Endergebnis zu: